Рух тіла в полі сили тяжіння. Вільне падіння. Розв'язування задач.

Дізнаємось

1. Визначення поняття «вільного падіння»
Термін «вільне падіння» використовують в навчально-методичній літературі впродовж багатьох років. У словниках, довідниках, зокрема, ознака вільного падіння протрактована так: «Вільним падінням називають рух під дією лише сили тяжіння» [1-3]. Найчастіше під вільним падінням розуміють дійсно падіння тіла в безповітряному просторі (вакуумі) зі стану спокою (тобто без початкової швидкості) вертикально вниз під дією гравітаційного притягання. Однак, на нашу думку, коли йдеться про вільне падіння, мають не тільки вертикальний рух вниз, звичайно, під дією сили тяжіння і без урахування опору повітря. У наведеному вище формулюванні йдеться про наявність єдиної сили земного тяжіння (як необхідної умови), але зовсім не сказано про початкові умови руху тіла, тобто не враховано значення й напрямок вектора початкової швидкості.
У цьому плані більш доречним, зрозумілим та універсальним є таке визначення вільного падіння:
«Це рух, який відбувається лише під дією сили тяжіння без впливу сили опору повітря. Якщо початкова швидкість тіла має горизонтальну складову, то під час вільного падіння тіло в загальному випадку падає вниз по параболічній траєкторії» [6].
Думка, що напрямок початкової швидкості не змінює визначення вільного падіння (якщо на тіло діє однозначна сила тяжіння) наявна і в роботі [4. ст. 116], де чітко сформульовано:
«Вільне падіння не обов'язково є рухом вниз. Якщо початкова швидкість спрямована вгору, то тіло під час вільного падіння певний час буде летіти вгору, зменшуючи свою швидкість до нуля, і лише потім почне падати вниз».
Отже, рух тіла, кинутого вертикально вгору, униз, під кутом до горизонту чи горизонтально на певній висоті, — це все приклади руху вільного падіння з погляду дії на рухоме тіло лише сили земного тяжіння

Поняття сили тяжіння, а разом із нею і прискорення вільного тяжіння, справедливі, згідно з законом всесвітнього тяжіння не лише щодо гравітаційного поля планети Земля, а й щодо всіх макротіл, якими є небесні тіла: зорі, планети, супутники планет, астероїди, модуль прискорення вільного падіння яких буде закономірно визначатися за формулою

Наведемо таблицю значень прискорення вільного падіння на поверхнях планет Сонячної системи (табл. 15.1)
Планета Прискорення вільного падіння, м/с2
Меркурій 3,78
Венера 8,9
Земля 9,81
Марс 3,76
Юпітер 26
Сатурн 12
Уран 11
Нептун 12
Додамо, що біля поверхні Місяця прискорення вільного падіння дорівнює 1,6 м/с2.
2. Рух по вертикалі в полі сили тяжіння
Рух по вертикалі, тобто вільне падіння з такою траєкторією — це прямолінійний рух з постійним за модулем прискоренням. Тому для математичного опису цього руху скористаємося формулами залежності переміщення і координати від часу для рівнозмінного прямолінійного руху.
Підійдемо до запису законів вільного падіння для вертикального руху вгору чи вниз суто «технічно».
Під час опису руху тіла по вертикалі вектори швидкості, прискорення і переміщення традиційно проектуються на вісь OY, тоді як, описуючи рівнозмінний прямолінійний рух по горизонталі, проектування цих векторів здійснюється на вісь OX, тому відповідно в рівняннях руху замінимо x на у. Традиційно ж переміщення тіла по вертикалі позначають символом h (висота), тому замінимо s на h. Для всіх тіл, що вільно падають, прискорення однакове і позначається символом g, тому замість символу a використаємо символ g. У результаті проведених змін одержимо рівняння, якими описують рух тіла, що вільно падає по вертикалі вгору або вниз:
Таблиця 15.1
Назва формули Формули для опису рівноприскореного руху вздовж осі OX Формули для опису вільного падіння вздовж осі OY
Рівняння залежності проекції швидкості від часу
Рівняння залежності проекції переміщення від часу
Формули для розрахунку проекції переміщення, якщо невідомий час руху тіла
Формули, що виражають геометричне значення переміщення
Рівняння координати
3. Рух по параболі під дією сили тяжіння
Якщо тіло будь-якої маси кинули горизонтально або під кутом до горизонту за умови, що немає опору повітря і дії будь-яких інших сил, то, згідно з принципом суперпозиції, можна вважати, що вздовж осі OX воно рухається рівномірно, а вздовж осі OY — з прискоренням якого надає тілу сила тяжіння (табл. 15.2).

Навчимось

Приклад 1. Кульку зіштовхнули з горизонтального столу заввишки 1,5 м (див. рис. 15.1). У момент падіння кульки на підлогу її
швидкість становила 8 м/с. Визначте початкову швидкість кульки.

Дано:
h = 1,5 м
v = 8 м/с
v0 - ?
Розв'язання
Переміщення кульки по вертикалі: Звідси Рівняння проекцій швидкості на осі: vx = v0; vy = gt.
Швидкість кульки в момент удару об підлогу:

Звідси

Відповідь: 5,8 м/с.
Таблиця 15.2
Тіло кинули горизонтально Тіло кинули під кутом до горизонту
Малюнок
Рівняння руху
Рівняння проекції швидкості
Модуль швидкості в момент часу t
Напрямок швидкості в момент часу t
Дальність польоту (х = l)
де t — час руху по параболі
де t — час руху по параболі
Висота (y = h)
де tп — час підняття на максимальну висоту
Час підняття на максимальну висоту —
Приклад 2. Камінь кидають горизонтально з вершини гори (див. рис. 15.2), що має нахил α. З якою початковою швидкістю кинули камінь, якщо він упав на схилі гори на відстані L від вершини?

Дано:
α
L
v0 — ?
Розв'язання
Рух уздовж осі Ox рівномірний. Дальність польоту каменя по горизонталі:

Рух уздовж осі Oy рівноприскорений без початкової швидкості. Тому

З (2) визначимо час: Підставимо (2) в (1) і отримаємо:

Відповідь:
Приклад 3. Диск кинули під кутом 45° до горизонту. Максимальна висота підняття диска 10 м. Визначте дальність польту диска.
Дано:
h = 10 м
α = 45°
l — ?
Розв'язання
Дальність польоту диска
Максимальна висота підняття диска
Поділивши рівності, отримаємо:
Звідси
Відповідь: 40 м.

Проблемні питання

Д.з.

Доступно тільки для зареєстрованих користувачів